Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Рис. 12. Множество Мандельброта.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. рис.10 и рис.11). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:

Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C(15)

где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Рис. 13. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200pаз.

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки, имеющие черный цвет). Точки, принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).

Примеры алгебраических фракталов:

множество Мандельброта;

множество Жюлиа;

бассейны Ньютона;

биоморфы.


Похожие статьи:

Научно-педагогические требования к компьютерным учебным пособиям
В последнее время появляется огромное количество более или менее удачных компьютерных и мультимедийных продуктов, где практически всегда отсутствуют методические материалы по их использованию. Такие компьютерные учебные продукты, как утверждает Розов Н.Х. в своей статье, не являются полноценными компьютерными продуктами. Разработка учебного пособия должна производиться по блокам, или модулям. Так ...

Методика организации работы с календарями природы в дошкольном учреждении
Как показывает практика дошкольного воспитания - познание закономерностей сезонных изменений сопряжено с рядом трудностей. Это относится прежде всего не к усвоению характерных признаков сезонов, а к пониманию процесса постепенного нарастания этих признаков и качественных изменений при переходе от одного сезона к другому. Отсутствие резкой видимой границы между временами года создает у детей обман ...

Главные разделы

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.smarteducator.ru