Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Рис. 12. Множество Мандельброта.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. рис.10 и рис.11). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:

Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C(15)

где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Рис. 13. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200pаз.

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки, имеющие черный цвет). Точки, принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).

Примеры алгебраических фракталов:

множество Мандельброта;

множество Жюлиа;

бассейны Ньютона;

биоморфы.

Похожие статьи:

Понятие рефлексии, рефлексивная деятельность
Прежде всего, следует различить некоторые понятия: педагогическая рефлексия, рефлексивная деятельность педагога, рефлексия в педагогике. Последнее и составит предмет нашего разговора, и потому я хочу предварительно оговорить его отличие от первых двух - не давая строгих определений названным понятиям, я лишь очерчу сферу их применимости. Когда мы говорим о педагогической рефлексии, мы ставим акце ...

Сущность конфликта в педагогическом процессе и фазы его протекания
Наиболее эффективным взаимодействие педагога и учащихся оказывается в случае ориентации обеих сторон на сотрудничество в условиях совместной деятельности. Однако, как показала педагогическая практика, наличие общей цели еще не гарантирует отсутствия различных трудностей и противоречий в ее организации и осуществлении. Отражением этих противоречий между участниками совместной деятельности является ...