Определение размерности Хаусдорфа-Безиковича D и тем самым фрактальной размерности множества точек требует, чтобы диаметр покрывающих множеств стремился к нулю. Что же касается физических систем, то они, вообще говоря, обладают характерным минимальным линейным размером, таким, как радиус Ro атома или молекулы. Применительно к идеям, изложенным в предыдущей главе, это означает, что математическую линию необходимо заменить линейной цепочкой "молекул", или мономеров. Двумерное множество точек мы заменяем плоским набором мономеров, а объем - некоторой упаковкой сфер. Число мономеров в цепи длиной L=2R равно:
(20)
Для набора мономеров, образующих круглый диск, получаем
(21)
Плотность числа мономеров для плотно упакованных сфер составляет
. Выписанные нами соотношения применимы только в пределе при R/Ro " 1, поскольку и периметр круглого диска, и сферическую поверхность шара можно покрыть мономерами только приближенно. Для трех перечисленных только что случаев мы можем указать асимптотическую форму для соотношения между числом частиц и размером "кластера", который оценивается по радиусу R наименьшей сферы, содержащей кластер внутри себя; она имеет вид
,
(22)
Величина D в этом соотношении "число частиц-радиус" называется размерностью кластера. Так как масса всех мономеров одинакова, число частиц N часто интерпретируют как массу, - как плотность массы, а размерность кластера называют размерностью массы.
Плотность зависит от того, как упакованы мономеры. Например, если сферы упакованы в объеме случайным образом, то плотность понижается с
до 0,637. Для других разновидностей кластеров выражение для плотности содержит множители, учитывающие форму кластера. Например, для эллипсоида вращения с отношением полуосей b/а величина
для плотной упаковки сфер определяется выражением
. В то же время размерность кластера D не зависит от формы кластера или от того, является ли упаковка мономеров упаковкой плотной, случайной или скважистой с равномерным распределением дыр.
Важно сознавать, что размерность D, определяемая соотношением (22), может быть нецелой, т.е. фрактальной. Чтобы пояснить это обстоятельство, обратимся снова к триадной кривой Кох. Построение триадной кривой Кох на рис.1 состоит из повторного применения образующего элемента, который разбивает прямолинейные отрезки на более мелкие отрезки. Альтернативная точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать каждый предфрактал как некую конструкцию из мономеров: один мономер соответствует одному образующему элементу. Радиус мономера, т. е. образующего элемента, равен , если образующий элемент, как обычно, покрывает единичный отрезок. Сам образующий элемент представляет собой наименьший кластер, или исходное поколение в процессе роста кластера. Первое поколение содержит N = 4 мономеров и имеет радиус R = 3R0. В следующем поколении число мономеров возрастает до N = 42 = 16, а радиус кластера - до R = = 32RO = 9R0. В n-м поколении получаем
и
. Мы видим, что триадные "кластеры" Кох удовлетворяют соотношению число частиц-радиус (22) вида N = (R/R0)D с размерностью кластера, равной фрактальной размерности D = ln 4/ln 3 триадной кривой Кох. В общем случае мы называем показатель D в соотношении число частиц-радиус фрактальной размерностью кластера.
Похожие статьи:
Закономерности формирования двигательных навыков и умений в процессе
обучения
Быстрота и прочность формирования двигательных навыков зависят от многих причин. Приобретенные ранее навыки могут облегчать или затруднять формирование нового навыка. Положительное взаимодействие навыков ("положительный перенос") происходит в тех случаях, когда в технике, движениях есть сходство (например, приземление в прыжках с высоты, в высоту с места и с разбега). "Отрицательны ...
Экологическое воспитание в процессе образования младших
школьников
Острота современных экологических проблем выдвинула перед педагогической теорией и школьной практикой задачу воспитания молодого поколения в духе бережного, ответственного отношения к природу, способного решать вопросы рационального природопользования, защиты и возобновления природных богатств. Чтобы эти требования превратились в норму поведения каждого человека, необходимо с детских лет целенапр ...