Фрактальная размерность кластеров

Определение размерности Хаусдорфа-Безиковича D и тем самым фрактальной размерности множества точек требует, чтобы диаметр покрывающих множеств стремился к нулю. Что же касается физических систем, то они, вообще говоря, обладают характерным минимальным линейным размером, таким, как радиус Ro атома или молекулы. Применительно к идеям, изложенным в предыдущей главе, это означает, что математическую линию необходимо заменить линейной цепочкой "молекул", или мономеров. Двумерное множество точек мы заменяем плоским набором мономеров, а объем - некоторой упаковкой сфер. Число мономеров в цепи длиной L=2R равно:

(20)

Для набора мономеров, образующих круглый диск, получаем

(21)

Плотность числа мономеров для плотно упакованных сфер составляет . Выписанные нами соотношения применимы только в пределе при R/Ro " 1, поскольку и периметр круглого диска, и сферическую поверхность шара можно покрыть мономерами только приближенно. Для трех перечисленных только что случаев мы можем указать асимптотическую форму для соотношения между числом частиц и размером "кластера", который оценивается по радиусу R наименьшей сферы, содержащей кластер внутри себя; она имеет вид

, (22)

Величина D в этом соотношении "число частиц-радиус" называется размерностью кластера. Так как масса всех мономеров одинакова, число частиц N часто интерпретируют как массу, - как плотность массы, а размерность кластера называют размерностью массы.

Плотность зависит от того, как упакованы мономеры. Например, если сферы упакованы в объеме случайным образом, то плотность понижается с до 0,637. Для других разновидностей кластеров выражение для плотности содержит множители, учитывающие форму кластера. Например, для эллипсоида вращения с отношением полуосей b/а величина для плотной упаковки сфер определяется выражением . В то же время размерность кластера D не зависит от формы кластера или от того, является ли упаковка мономеров упаковкой плотной, случайной или скважистой с равномерным распределением дыр.

Важно сознавать, что размерность D, определяемая соотношением (22), может быть нецелой, т.е. фрактальной. Чтобы пояснить это обстоятельство, обратимся снова к триадной кривой Кох. Построение триадной кривой Кох на рис.1 состоит из повторного применения образующего элемента, который разбивает прямолинейные отрезки на более мелкие отрезки. Альтернативная точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать каждый предфрактал как некую конструкцию из мономеров: один мономер соответствует одному образующему элементу. Радиус мономера, т. е. образующего элемента, равен , если образующий элемент, как обычно, покрывает единичный отрезок. Сам образующий элемент представляет собой наименьший кластер, или исходное поколение в процессе роста кластера. Первое поколение содержит N = 4 мономеров и имеет радиус R = 3R0. В следующем поколении число мономеров возрастает до N = 42 = 16, а радиус кластера - до R = = 32RO = 9R0. В n-м поколении получаем и . Мы видим, что триадные "кластеры" Кох удовлетворяют соотношению число частиц-радиус (22) вида N = (R/R0)D с размерностью кластера, равной фрактальной размерности D = ln 4/ln 3 триадной кривой Кох. В общем случае мы называем показатель D в соотношении число частиц-радиус фрактальной размерностью кластера.

Похожие статьи:

Характеристика самостоятельной деятельности детей 6 го года жизни и условия применения в ней сюжетно-дидактических игр математического содержания
В психолого-педагогической литературе самостоятельность отмечается как способность ребенка к деятельности, совершаемой без вмешательства со стороны. Идеей формирования самостоятельной деятельности интересовались и была анализирована Аристотелем, Аристоксеном, Сократом, Платоном и др. Выдающие педагоги и революционеры-демократы В.Г.Белинский, А.И.Герцен, Я.А.Коменский, И.Г.Песталоцци, Н.А.Добролюб ...

Особенности среды приюта
Социальные приюты – это образовательно-воспитательные учреждения, где детям и подросткам оказывают помощь по разрешению их жизненных проблем. Особенность приютов состоит в том, что это учреждение временного пребывания. Поскольку программа реабилитации индивидуальна для каждого ребенка, сроки пребывания в приюте так же индивидуальны. Ребенок сам может попросить убежище в приюте до решения его даль ...