Фрактальная размерность кластеров

Определение размерности Хаусдорфа-Безиковича D и тем самым фрактальной размерности множества точек требует, чтобы диаметр покрывающих множеств стремился к нулю. Что же касается физических систем, то они, вообще говоря, обладают характерным минимальным линейным размером, таким, как радиус Ro атома или молекулы. Применительно к идеям, изложенным в предыдущей главе, это означает, что математическую линию необходимо заменить линейной цепочкой "молекул", или мономеров. Двумерное множество точек мы заменяем плоским набором мономеров, а объем - некоторой упаковкой сфер. Число мономеров в цепи длиной L=2R равно:

(20)

Для набора мономеров, образующих круглый диск, получаем

(21)

Плотность числа мономеров для плотно упакованных сфер составляет . Выписанные нами соотношения применимы только в пределе при R/Ro " 1, поскольку и периметр круглого диска, и сферическую поверхность шара можно покрыть мономерами только приближенно. Для трех перечисленных только что случаев мы можем указать асимптотическую форму для соотношения между числом частиц и размером "кластера", который оценивается по радиусу R наименьшей сферы, содержащей кластер внутри себя; она имеет вид

, (22)

Величина D в этом соотношении "число частиц-радиус" называется размерностью кластера. Так как масса всех мономеров одинакова, число частиц N часто интерпретируют как массу, - как плотность массы, а размерность кластера называют размерностью массы.

Плотность зависит от того, как упакованы мономеры. Например, если сферы упакованы в объеме случайным образом, то плотность понижается с до 0,637. Для других разновидностей кластеров выражение для плотности содержит множители, учитывающие форму кластера. Например, для эллипсоида вращения с отношением полуосей b/а величина для плотной упаковки сфер определяется выражением . В то же время размерность кластера D не зависит от формы кластера или от того, является ли упаковка мономеров упаковкой плотной, случайной или скважистой с равномерным распределением дыр.

Важно сознавать, что размерность D, определяемая соотношением (22), может быть нецелой, т.е. фрактальной. Чтобы пояснить это обстоятельство, обратимся снова к триадной кривой Кох. Построение триадной кривой Кох на рис.1 состоит из повторного применения образующего элемента, который разбивает прямолинейные отрезки на более мелкие отрезки. Альтернативная точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать каждый предфрактал как некую конструкцию из мономеров: один мономер соответствует одному образующему элементу. Радиус мономера, т. е. образующего элемента, равен , если образующий элемент, как обычно, покрывает единичный отрезок. Сам образующий элемент представляет собой наименьший кластер, или исходное поколение в процессе роста кластера. Первое поколение содержит N = 4 мономеров и имеет радиус R = 3R0. В следующем поколении число мономеров возрастает до N = 42 = 16, а радиус кластера - до R = = 32RO = 9R0. В n-м поколении получаем и . Мы видим, что триадные "кластеры" Кох удовлетворяют соотношению число частиц-радиус (22) вида N = (R/R0)D с размерностью кластера, равной фрактальной размерности D = ln 4/ln 3 триадной кривой Кох. В общем случае мы называем показатель D в соотношении число частиц-радиус фрактальной размерностью кластера.

Похожие статьи:

Реализация методики развития физических качеств старших дошкольников
Методика развития физических качеств дошкольников должна включать: проведение социально-организованной, непрерывной и целенаправленной работы дошкольного учреждения и семьи; логичное и последовательное использование всех основных зарекомендовавших себя в практике путей формирования и развития физических качеств дошкольников. К ним относятся режим дня, физические упражнения, закаливание, рациональ ...

Метод проектов как наиболее адекватная образовательная технология развития «высших компетентностей»
Современный анализ метода проектов, с нашей точки зрения, не может обойти концепцию «высших компетентностей» Дж. Равена и его анализ передовой педагогической практики. К сожалению, основные педагогически ориентированные работы Равена не переведены на русский язык, однако мы уже «имеем под рукой» две его книги. Дадим слово самому автору при кратком изложении его одной из основных педагогических ра ...