Конечные кластеры при протекании

Величина кластеров при перколяции может варьироваться в широких пределах. Если вероятность занятия узла опускается ниже рс, то размеры кластеров постепенно убывают. Выше рс кластеры различной величины существуют в дырах перколяционного кластера. Число узлов s в кластере и его линейная протяженность имеют характерные распределения. Порог протекания определяется распределением кластеров по величине, которое не имеет характерного масштаба, т.е. должно быть степенным распределением. Чтобы придать этому распределению более точный смысл, введем радиус гирации (гирорадиус) Rg (s) кластера, состоящего из s узлов :

(4)

Радиус гирации есть не что иное, как среднеквадратичный радиус кластера, измеряемый от центра тяжести последнего. Рассмотрим конечный кластер, изображенный на рис. 7. Если мы поместим этот конечный кластер (при р = рс) внутрь клетки со стороной L < 2Rg(s), то он окажется частью внутреннего перколяционного кластера, простирающегося по всей клетке, и, как и прежде, мы получим зависимость MS(L)~ LD. Когда сторона клетки возрастет больше 2Rg, мы увидим края кластера. При достаточно больших L весь кластер окажется внутри клетки со стороной Lg и все сомнения относительно конечности кластера рассеятся, так как масса кластера уже не будет возрастать с увеличением L.

Рис. 2. Конечное состояние кластера на квадратной решетке при рс. Радиус окружности равен радиусу гирации Rg(s) = 51 кластера, содержащего 6700 узлов. Квадрат в центре имеет сторону L= 60. Наименьший квадрат, вмещающий кластер, имеет сторону Ls = 150.

Эти соображения можно резюмировать следующим образом. Если на кластер, состоящий из s узлов, наложить клетку со стороной L, то масса Мg(L), оказавшаяся внутри клетки, определяется соотношением

(5)

Переходная функция f(x) здесь просто стремится к постоянной амплитуде А в соотношении (2) при х = L/Rg(s). Но так как масса MS(L) при х " 1 должна перестать зависеть от L, мы заключаем, что f(x) ~ x-D, поэтому член LP, стоящий перед/в соотношении (5), выпадает. В результате мы получаем следующее [4] соотношение между радиусом тирании и числом узлов в кластере:

(6)

Рис. 3. Зависимость масс кластеров s (числа узлов) от линейных размеров Ls кластеров для квадратной решетки при рс = 0,5927. Диапазоны ошибок указывают одно стандартное отклонение относительно среднего. На врезке показан результат экстраполяции прямой с угловым коэффициентом Dэфф = d ln s/d ln Ls при s→∞, где D = 1,89 ± 0,01.

Соотношение s ~ Rg(s)D было подтверждено многочисленными численными экспериментами. На рис. 3 показаны результаты, полученные Гроссманом и Аарони относительно зависимости s от Ls, где L – длина стороны наименьшей клетки, вмещающей в себя кластер. Кластеры не имеют характерных размеров, которые не зависели бы от размера самого кластера, и поэтому можно ожидать, что М (L) изменяется по степенному закону как Lf. Это отчетливо видно на рис. 3. На врезке показана экстраполяция "эффективной" фрактальной размерности, вычисленной по части кривой s(Ls) по формуле £эфф = = ∂ In s/∂ In Ls. Полученное значение совпадает в пределе больших кластеров с ожидаемым значением фрактальной размерности D = 1,89±0,01≈91/48. Размерность Dэфф может быть получена путем подгонки прямой относительно 1/LS. Это свидетельствует о том, что главная поправка D1 в уравнении (3) определяется соотношением Dx = D — 1. Интервалы ошибок указывают на разброс значений параметра s в "окнах" линейного размера Ls. В свою очередь существование этого разброса подчеркивает, что степенной закон s ~ Ls D применим только к средним величинам. Интервалы ошибок имеют фиксированную длину в логарифмической шкале. Это позволяет заключить, что флуктуации значения s при заданном значении Ls определяются соотношением

Похожие статьи:

Цель, задачи и содержание формирующего эксперимента
С целью совершенствования и развития качеств слухового и зрительного внимания, была предпринята попытка определения содержания системы коррекции нарушения внимания, для повышения эффективности логопедической работы по преодолению заикания у детей старшего дошкольного возраста. Для достижения поставленной цели были выдвинуты следующие задачи: Анализ методической литературы с целью отбора игр и упр ...

Диагностические методики творческого воображения
Диагностические методики необходимы для выявления как одаренности, так и задержки психического развития с целью своевременной помощи ребенку. Разработка методик актуальна также и в теоретическом плане как условие отбора достоверного и систематизированного материала для решения фундаментальных проблем психологии. Построение методик диагностики определяется общей концепцией развития психики. Следуя ...