Остов перколяционного кластера

Рис. 6. Остовы перколяционного кластера на квадратной решетке, показанного на рис. 7.2, б, при критической концентрации рс. а-Остов, связывающий отдельный узел на левой границе решетки размеров 160 х 160 с отдельным узлом на правой границе; б-остов, связывающий все узлы на левой и правой границах .

Узлы остова образуют подмножество узлов перколяционного кластера, и каждый узел перколяционного кластера является также частью по меньшей мере одного остова. Поскольку перколяционные кластеры фрактальны и их размерность равна D — 1,89, остовы перколяционных кластеров также фрактальны и их размерность подчиняется неравенству DB < D. Большое число численных моделей (на пороге протекания рс) показали, что масса Мд(1) остова, связывающего границы квадрата со стороной /, равна

Оценки фрактальной размерности остова заключены в пределах DB ~ 1,62 + 0,02, а недавно была получена оценка DB = 1,61 + 0,02 [4]. Кривая Мандельброта-Гивена может служить разумной моделью остова перколяционного кластера, и ее фрактальная размерность DB = 1,63 . достаточно близка к размерности остова.

Процесс вязкого вытеснения в перколяционном кластере выделяет лишь некоторое подмножество узлов остова. Это подмножество зависит от капиллярного числа. Лабораторные эксперименты и численные расчеты [168] показывают, что фрактальная размерность структуры вязких пальцев равна D ~ 1,3 при высоких значениях Са и 1,5 при низких Са.

Изучая различные физические явления, происходящие на фракталах, мы получим в общем различные фрактальные размерности. Это происходит потому, что выбор конкретного физического процесса, происходящего на фоне фрактальной геометрии, по сути дела равнозначен выбору меры этого фрактального множества. Поэтому изучение физических явлений на фрактальных множествах естественным образом приводит к понятию мультифракталов, обсуждавшихся в предыдущей главе. Распределения тока и флуктуации сопротивления фрактальных цепей, состоящих из (нелинейных) сопротивлений, приводят к бесконечным наборам показателей, или мультифракталам).

Остовы имеют много геометрических особенностей, которые также фрактальны. Рассмотрим две точки, связанные остовом, который показан на рис. 6,а. Длина кратчайшего пути между этими точками lмин (равная числу узлов, которые необходимо посетить на этом пути) оказывается следующим образом зависящей от размера области l, т. е. евклидова расстояния между точками [7]:

(9)

На изображениях остовов, показанных, например, на рис. 7.15, заметно, что они состоят из "пузырей", соединенных "перемычками". Перемычки, которые Стэнли [4] называет также красными связями, обладают тем свойством, что если их перерезать, то остов распадается на две части и жидкость больше не может протечь от места впрыскивания до места вытекания. В пузырях связи продублированы и перерезание такой связи, т.е. удаление узла, не прерывает течения. Связи, соединяющие узлы внутри пузырей, Стэнли называет синими связями. Причина такой "раскраски" связана с электрическим аналогом протекания, когда ток течет сквозь перколяционный кластер от одного контактного узла (места впрыскивания) к другому краю кластера, где находится другой узел контакта. Весь ток протекает при этом через перемычки, и они раскаляются докрасна. В пузырях ток имеет возможность растечься по многим связям, и они остаются относительно холодными. Множество, состоящее из красных связей, образует подмножество узлов остова, которое также является фрактальным. Если увеличивается расстояние L между парой узлов на разных концах остова, то число красных связей растет по степенному закону:

(10)

Было показано, что соотношение Dкpacн = 1/v между фрактальной размерностью множества красных связей и показателем v, который определяет особенность корреляционной длины £, при р = рс, точно выполняется и в случае большего числа измерений. Почти вся масса остова сосредоточена в пузырях, так как фрактальная размерность множества красных связей намного меньше размерности остова. Поэтому фрактальная размерность множества узлов, принадлежащих пузырям, равна размерности остова. Кривые Мандельброта-Гивена содержат много тонких (красных) связей. Фрактальная размерность множества таких связей равна 0,63 . , что несколько меньше Dкpacн для перколяционного кластера .

Похожие статьи:

Методы работы по орфографии в школе
Термин «орфография» создан на базе корней греческих слов orthos (правильный) и grapho (пишу); буквальным переводом (калькой) его на русский язык является термин «правописание» . В современном понимании орфография – это система правил написания слов. Правила эти не однотипны, поэтому и в самой орфографии выделяется несколько относительно самостоятельных частей. Орфография, как система правил, сост ...

Влияние загадок, пословиц, поговорок на развитие речи младших школьников
При определении уровня развития навыков связной речи необходимо, прежде всего, установить какие мысли и как переданы через текст. Этим и объясняются те компоненты анализа текста, которые предлагает исследователь Н.И. Жинкин: отбор слов; распределение предметных признаков в группе предложений; выделение предиката; связь двух предложений. Эти категории или элементы анализа, выдвинутые Н.И. Жинкиным ...