Размерность фрактала

В евклидовой геометрии есть понятие размерности: размерность отрезка — единица, размерность круга — два, шара — три (или: прямая - 1, плоскость - 2, .). Например, если мы будем измерять длину отрезка, то, например, метровых отрезков в нём будет N, полуметровых 2N, дециметровых — 10N и так далее. В данном случае наблюдается прямая пропорциональная зависимость. В случае измерения площади мы уже получим следующие значения: 4N, 100N, то есть здесь зависимость уже квадратичная. Объём трёхмерных фигур пропорционален кубу их линейных размеров.

Если попытаться применить эти правила к фрактальным объектам, возникает парадоксальная ситуация — их размерность окажется дробным числом. Так как фрактал состоит из бесконечного числа повторяющихся элементов, невозможно точно измерить его длину. Это означает, что чем более точным инструментом мы будем его измерять, тем большей окажется его длина. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное. Таким образом, фрактальная размерность кривой Коха будет находиться между 1 и 2.

Самым удивительным оказывается то, что и многие природные объекты обладают как бы дробной размерностью, хотя, строго говоря, для природных объектов такую размерность вычислить невозможно. Правильнее сказать, что в определённых диапазонах наблюдения природные объекты, возникшие в результате долгой диффузии и абсорбции, похожи на фрактальные множества. Например, размерность побережья лежит между 1,01 и 1,6, а кровеносной системы человека — между 2,4 и 2,6 .

Дадим теперь общее определение фрактальной размерности. Пусть d — обычная Евклидова размерность пространства, в котором находится наш фрактальный объект. Покроем теперь этот объект целиком d-мерными "шарами" (под "шаром" в зависимости от задачи мы будем понимать также и куб, и квадрат, и просто отрезок прямой) радиуса l. Предположим, что нам потребовалось для этого не менее чем N(l) шаров. Тогда, если при достаточно малых l величина N(l) меняется с l по степенному закону :

,(16)

то D — называется хаусдорфовой или фрактальной размерностью этого объекта.

Формулу (16) можно переписать также в виде

(17)

Это и служит общим определением фрактальной размерности D. В соответствии с ним величина D является локальной характеристикой данного объекта.

Покажем, что это определение дает привычные для нас целочисленные значения размерности для обычных хорошо известных множеств. Так, для множества, состоящего из конечного числа изолированных точек, N, минимальное число d-мерных "шаров", с помощью которых мы можем покрыть это множество, при достаточно малом размере шаров совпадает, очевидно, с количеством точек, т. е. N(l) = N и не зависит от диаметра этих шаров l. Следовательно, согласно формуле (17), фрактальная размерность этого множества D = 0. Она совпадает с обычной Евклидовой размерностью изолированной точки d = 0 (точка — нульмерный объект).

Похожие статьи:

Взгляды философов об университете
Традиция обсуждения «идеи университета» в Европе Нового времени берет свое начало с лекций кардинала Дж.Ньюмена «Идея университета» (Newman, 1860). Этим трудом он положил начало обсуждению либерального образования в целом и университета как его носителя в частности. Он считал, что университет – это место, где преподаются универсальные знания. На протяжении XIX – XX веков у многих крупных философо ...

Психолого-педагогическая характеристика дошкольников с ОНР III уровня
Общее речевое недоразвитие сказывается на формировании у детей интеллектуальной, сенсорной и волевой сфер. Связь между речевыми нарушениями и другими сторонами психического развития обусловливает наличие вторичных дефектов. Так, обладая полноценными предпосылками для овладения мыслительными операциями (сравнения, классификации, анализа, синтеза), дети отстают в развитии словесно-логического мышле ...