Методические разработки занятий факультативного курса

Занятие 1

Цель: Познакомить детей с понятиями симметрических многочленов, элементарных симметрических многочленов и степенных сумм. Доказать основную теорему о симметрических многочленах.

План занятия:

Симметрические многочлены: определение и примеры.

Степенные суммы и элементарные симметрические многочлены. Выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены.

Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.

Формула нахождения степенных сумм.

Домашнее задание.

1. Симметрические многочлены

Введение

Определение: Многочлен от x и y называется симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x.

Примеры: x2y + y2x – симметрический многочлен, так как x2y + y2x = y2x + x2y.5x2 – y2 – не симметрический многочлен, поскольку 5x2 – y2 не равен многочлену y2 - 5x2.

Задание: Какие из следующих многочленов являются симметрическими:а) xy – 2yx б) y2 + 3x2 в) x2y2 + x + y г) x – y д) 3xy3 + 4x2y2 – 3y3xе) (x3 – y3)2 ж) (x + y)2 - (x - y)2 з) (x - y)3Ответы: (а), (в), (д), (е), (ж).

2. Элементарные симметрические многочлены и степенные суммы

Определение: Элементарными симметрическими многочленами называют многочлены x + y и xy.

Они так называются, поскольку на вид самые простые из симметрических многочленов. Для них используются специальные обозначения: σ1 = x + y и σ2 = xy (σ – греческая буква «сигма»).

Определение: Степенные суммы – это многочлены вида x + y,x2 + y2, x3 + y3, … , xn + yn.

Для степенных сумм тоже приняты специальные обозначения: s1 = x + y, s2 = x2 + y2, … , sn = xn + yn.

Несколько первых степенных сумм легко выражаются через элементарные симметрические многочлены:s1 = x + y = σ1s2 = x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = σ12 - 2 σ2

ЗАДАНИЕ: Выразить s3 и s4 через элементарные симметрические многочлены.Решение: s3 = x3 + y3 = (x + y)( x2 – xy + y2) = σ1(σ12 - 3 σ2) s4 = x4 + y4 =( x2 + y2)2 - 2 x2 y2 = (σ12 - 2 σ2)2 - 2 σ22

Степенные суммы – сами по себе являются симметрическими многочленами и могут быть выражены через элементарные симметрические многочлены. Но не только они, а вообще любой симметрический многочлен можно выразить через элементарный симметрический многочлен. Доказательством тому служит следующая теорема.

3. Основная теорема

Теорема: Любой симметрический многочлен от двух переменных x и y можно представить в виде многочлена от σ1 = x + y и σ2 = xy.

< Доказательство приведено в приложении >.

4. Формула нахождения степенных сумм

При доказательстве основной теоремы мы столкнулись с формулой выражения степенных сумм через σ1 и σ2 :

sk = σ1sk-1 - σ2sk-2

По этой формуле несложно найти любую нужную степенную сумму:

s1 = σ1 s2 = σ12 - 2 σ2s3 = σ1 (σ12 - 2 σ2) - σ2 σ1 = σ13 - 3 σ1 σ2s4 = σ1(σ13 - 3 σ1 σ2) - σ2 (σ12 - 2 σ2) = σ14 - 4 σ12 σ2 + 2 σ22

Сравним полученный результат с вычислениями, сделанными до рассмотрения теоремы. Мы посчитали s3 и s4 верно и без применения формулы, но степенные суммы более высоких степеней без нее уже трудно найти.

Домашнее задание

- Знать определения, формулировку теоремы и план ее доказательства.

- Самим посчитать

s5 , s6 , s7 и s8

Ответы:

s5 = σ15 - 5 σ13 σ2 + 5 σ1 σ22 s6 = σ16 - 6 σ14 σ2 + 9 σ12 σ22 - 2 σ23

Занятие 2

Цель: Рассмотреть теорему единственности выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены и теорему Безу. Научить детей делить многочлен на многочлен «уголком».

Похожие статьи:

Особенности восприятия цвета детьми дошкольного возраста
Для того чтобы правильно руководить детским творчеством, нужно знать особенности изобразительной деятельности детей. Это поможет найти ключ к сердцу ребенка, установить с ним контакт, развить его художественные способности. Чем наблюдательней ребёнок, чем он пытливее, тем убедительней будет его рисунок, даже при технической беспомощности автора. Рисуя, ребёнок не просто изображает другие предметы ...

Диагностика навыков культурного поведения у подростков с нарушением интеллекта
На практическом этапе исследования с подростками с нарушением интеллекта в коррекционной школе-интернате был проведён тест на знание правил поведения при общении с людьми в различных ситуациях. На вопросы теста отвечали учащиеся 8 класса. Возраст учащихся 14-15 лет, всего в классе 12 человек: 7 девочек, 5 мальчиков. Вопросы теста связаны с: · правилами поведения на улице; · правилами поведения пр ...