2. Решение систем уравнений
Теперь мы можем применять знания о симметрических многочленах при решении систем уравнений с 2-мя неизвестными.
Пример 1. Решить систему:
(1)
Введем новые переменные
σ1 = x + y и σ2 =xy;
x3 + y3 = s3 = σ13 - 3 σ1 σ2
Для новых переменных получаем следующую систему:
(2)
Подставляя значение σ1 = 5 в первое уравнение системы (2) получаем :
Решение системы (2) таково: σ1 = 5 , σ2 = 6. Вернемся к переменным x и
y:
Выражая из 1-го уравнения y и подставляя во второе, приходим к
Решая 2-е уравнение, находим х = 2 или х =3. Подставляя эти значения в первое уравнение, получаем решения исходной системы (1): (2,3) или (3,2).
Ответ: (2,3) или (3,2).
Пример 2. Решить систему
(1)
Как и в предыдущем примере, произведем замены σ1= x + y и σ2 =xy, тогда x3 + y3 = s3 = σ13 - 3 σ1 σ2 и x2 + y2 = σ12 - 2 σ2 .Перейдем к системе с другими переменными:
Выражая из 2-го уравнения σ2 = 1/2 σ12 – 2 и подставляя в 1-е, получаем
(2)
Первое уравнение данной системы – кубическое. Попытка угадать корень дает результат, σ1 = 2 – подходит. Если мы разделим σ13 - 12 σ1 + 16 на σ1 – 2, то получим многочлен уже 2-й степени и сможем решить нужное нам уравнение.
Задание: Разделить
σ13 - 12 σ1 + 16 на σ1 – 2.
Ответ: σ12 + 2 σ1 – 8Итак, по следствию из теоремы Безу имеем:
σ13 - 12 σ1 + 16 = 0, или
(σ1 – 2)( σ12 + 2 σ1 – 8) = 0,Откуда σ1 = 2 или σ1 = -4.
Подставляя эти значения во 2-е уравнение системы(2), получаем:
σ1 = 2; σ2 = 0 или σ1 = -4 ; σ2 = 6 .Возвращаемся к x и y :
или
Вторая система решения не имеет, а из первой находим
Ответ: (2,0) или (0,2).
ЗАДАНИЕ: Решить системы уравнений:
1. 2.
3.
Ответы:1. Вспомогательная система имеет решения σ1 = 3, σ2 = 2 или σ1 = 3, σ2 = 7 Окончательный ответ: (2,1) или (1,2).2. Вспомогательная система имеет решения σ1 = 5, σ2 = 6 Окончательный ответ: (2,3) или (3,2)3. Вспомогательная система имеет решения σ1 = 6, σ2 = 8 или σ1 = -13/3, σ2 = -52/9
Окончательный ответ: (2,4) или (4,2) или (,
) или (
,
)
Домашнее задание
Решить системы уравнений:
1. 2.
3.
Ответы:
1. Вспомогательная система имеет решения σ1 = 1, σ2 =1/2 Окончательный ответ: корней нет
Похожие статьи:
Учебно-методический комплекс по системе В. Д. Эльконина –В. В. Давыдова
Система существует более 40 лет, проверена временем, завоевала всеобщее признание. С 1995-1996 учебного года система начального образования Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова признана государственной системой начального обучения (наравне с традиционной системой и системой развивающего обучения Л.В.Занкова). УМК системы Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова включает в себя учебники по всем основным предметам: - ...
Особенности формирования информационной компетентности
Современный этап развития общества характеризуется бурным развитием производства. Мы видим, что наибольших успехов добились те государства, которые в качестве генерального направления выбрали путь информационно интеллектуального развития. Осознание этого факта заставляет по-новому взглянуть и на систему подготовки педагогов. Любое образовательное учреждение сегодня выдвигает четкое требование: от ...