Методические разработки занятий факультативного курса

Ответ выглядит так:

.

2. Разложение симметрических многочленов на множители методом неопределенных коэффициентов

Если при выражении симметрического многочлена через и получается многочлен 2-й степени относительно , который корней не имеет, то может помочь другой способ. Многочлен от x и y 4-й степени представляется в виде произведения двух многочленов второй степени, имеющих специальный вид: , где А, В и С – какие-то пока неизвестные (или «неопределенные») коэффициенты. Как найти эти коэффициенты, мы узнаем из примера 2:

Пример 2. Разложить на множители многочлен

Решение: Мы будем искать разложение в виде

=(*)

При нахождении коэффициентов А, В и С заметим, что равенство (*) должно представлять собой тождество, то есть выполняться при любых значениях переменных x и y. Подставляя в соотношение (*) различные значения x и y, мы будем получать уравнения на коэффициенты А, В и С, после чего сможем найти их.

Положим x = y = 1, тогда (*) примет вид 16 = (А + В + С)2, откудаА + В + С = 4. Поскольку при значении 4 и -4 правая часть равенства (*) не меняется, для простоты возьмем А + В + С = 4.

Полагая x = 1, y = -1, получим А - В + С = 2,и при x = 0, y = 1, получается АС = 2.

Мы пришли к системе .Решая ее, находим А = 1, В = 1, С = 2 (или А = 2, В = 1, С = 1).И в одном, и в другом случае ответ таков: Это равенство получено в предположении, что искомое разложение (*) существует. Раскрыв скобки в правой части, можно убедиться в справедливости полученного равенства.

3. Домашнее задание

Разложить на множители следующие многочлены:

1.

2.

3.

Ответы:

1.

2.

3.

Занятие 9

Цель: Научить детей решать некоторые задачи, не вошедшие в предыдущие занятия.

План: 1. Разбор некоторых задач. 2. Упражнения.

1. Различные задачи

Симметрические многочлены можно применять и для решения задач многих других видов, отличающихся от рассмотренных ранее.

Пример 1. Исключить x и y из уравнений

Эту задачу следует понимать следующим образом: так как для двух неизвестных x и y мы имеем три уравнения, то эта система имеет решения не при любых значениях a, b и c. Требуется найти соотношение между a, b и c, при котором данная система разрешима.

Решение: воспользуемся тем, что левые части уравнения симметрично зависят от x и y. Выразим их через элементарные симметрические многочлены: Из первых двух уравнений получаем: , , и в силу третьего уравнения , или . Это и есть результат исключения x и y из исходной системы уравнений.

Похожие статьи:

Триадное канторовское множество
Канторовские множества позволяют проиллюстрировать достаточно много важных и интересных специфических особенностей, присущих фракталам. Очень простое построение, предложенное Кантором, позволяет получать фрактальные множества с фрактальной размерностью в интервале 0<D<1. Как показано на рис. 10, затравкой служит единичный отрезок [0, 1], а образующий элемент делит его на три равные части и ...

Эксперимент сравнения итогов усвоения материала на традиционных уроках и иновавционных с применением игровых технологий
Качество образования определяется не только количеством и качеством знаний, но и качеством личностного, духовного, гражданского развития подрастающих поколений. И именно в этом его главная общественная ценность. Исследование включает в себя сравнения качества усвоения материала на традиционных и инновационных с применением игровых технологий. Эксперимент был проведён на базе Мышленской общеобразо ...