Методические разработки занятий факультативного курса

Ответ выглядит так:

.

2. Разложение симметрических многочленов на множители методом неопределенных коэффициентов

Если при выражении симметрического многочлена через и получается многочлен 2-й степени относительно , который корней не имеет, то может помочь другой способ. Многочлен от x и y 4-й степени представляется в виде произведения двух многочленов второй степени, имеющих специальный вид: , где А, В и С – какие-то пока неизвестные (или «неопределенные») коэффициенты. Как найти эти коэффициенты, мы узнаем из примера 2:

Пример 2. Разложить на множители многочлен

Решение: Мы будем искать разложение в виде

=(*)

При нахождении коэффициентов А, В и С заметим, что равенство (*) должно представлять собой тождество, то есть выполняться при любых значениях переменных x и y. Подставляя в соотношение (*) различные значения x и y, мы будем получать уравнения на коэффициенты А, В и С, после чего сможем найти их.

Положим x = y = 1, тогда (*) примет вид 16 = (А + В + С)2, откудаА + В + С = 4. Поскольку при значении 4 и -4 правая часть равенства (*) не меняется, для простоты возьмем А + В + С = 4.

Полагая x = 1, y = -1, получим А - В + С = 2,и при x = 0, y = 1, получается АС = 2.

Мы пришли к системе .Решая ее, находим А = 1, В = 1, С = 2 (или А = 2, В = 1, С = 1).И в одном, и в другом случае ответ таков: Это равенство получено в предположении, что искомое разложение (*) существует. Раскрыв скобки в правой части, можно убедиться в справедливости полученного равенства.

3. Домашнее задание

Разложить на множители следующие многочлены:

1.

2.

3.

Ответы:

1.

2.

3.

Занятие 9

Цель: Научить детей решать некоторые задачи, не вошедшие в предыдущие занятия.

План: 1. Разбор некоторых задач. 2. Упражнения.

1. Различные задачи

Симметрические многочлены можно применять и для решения задач многих других видов, отличающихся от рассмотренных ранее.

Пример 1. Исключить x и y из уравнений

Эту задачу следует понимать следующим образом: так как для двух неизвестных x и y мы имеем три уравнения, то эта система имеет решения не при любых значениях a, b и c. Требуется найти соотношение между a, b и c, при котором данная система разрешима.

Решение: воспользуемся тем, что левые части уравнения симметрично зависят от x и y. Выразим их через элементарные симметрические многочлены: Из первых двух уравнений получаем: , , и в силу третьего уравнения , или . Это и есть результат исключения x и y из исходной системы уравнений.

Похожие статьи:

«Воспитание» в образовательной системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова
Для нас учебно-воспитательный процесс един. Если мы кого-то воспитываем, то значит, в этом воспитании мы чему-то и обучаем. Если мы обучаем, то значит, мы в чем-то и воспитываем. Отдельные возрастные периоды обладают соответствующими ведущими деятельностями. Для дошколят ведущей деятельностью является игра. Но если к игре подстраивается художественная деятельность в дошкольном возрасте, то у ребе ...

Пути и средства формирования знаний о комнатных растениях у детей дошкольного возраста
Процесс формирования знаний происходит как в стихийной форме, так и в процессе целенаправленного обучения. Обучение -процесс целенаправленной передачи исторического опыта, организации формирования знаний, умений и навыков. В обучении используются наглядные, словесные, игровые, практические методы. Методы обучения рассматриваются как способы работы педагога с детьми с целью приобретения последними ...