Пример 1. Доказать, что если a и b – действительные числа, удовлетворяющие условию a + b > c, то справедливы неравенства: ,
,
Для доказательства введем элементарные симметрические многочлены,
. Имеем:
Так как z
0, а по условию задачи
, то
, то есть
. Применяя к полученному неравенству те же рассуждения, находим:
Пример 2. Доказать, что если a и b – действительные числа, удовлетворяющие условию a + b > 1, то .
Доказываемое неравенство является частным случаем неравенства, рассмотренного в предыдущем примере. Там мы его доказали, дважды применив неравенство
. Но можно доказать неравенство и непосредственно:
= =
(поскольку z
0).Так как по условию задачи
, то неравенство
доказано.
Задания 1. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство .2. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство
.3. Доказать, что при любых неотрицательных a и b справедливо неравенство
Решение
1.
2.
3.
,так как
, то по теореме 2
и
, и неравенство доказано.
3. Домашнее задание
1. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство .2. Доказать, что при любых неотрицательных a и b справедливо неравенство
3. Доказать, что при любых положительных числах x и y справедливо неравенство
Решения
1.
2.
- по теореме 2.3. Данное неравенство можно переписать в виде
, то есть
, или
, которое выполняется прямо по теореме 2.
Похожие статьи:
Фрактальная размерность кластеров
Определение размерности Хаусдорфа-Безиковича D и тем самым фрактальной размерности множества точек требует, чтобы диаметр покрывающих множеств стремился к нулю. Что же касается физических систем, то они, вообще говоря, обладают характерным минимальным линейным размером, таким, как радиус Ro атома или молекулы. Применительно к идеям, изложенным в предыдущей главе, это означает, что математическую ...
Использование активных форм организации обучения биологии
в кружковой работе
Во внеклассной работе можно использовать разнообразные активные формы обучения биологии: деловые и имитационные игры, групповая форма (работа в малых группах над определенными проблемами, проблемными задачами, ситуациями, заданиями). Рассмотрим использование активной формы организации обучения (игра) на примере занятия кружка по теме «Птицы». Цель: обобщить и систематизировать знания по теме, зак ...